＜数据结构＞单向环形链表_三分苦_环形单向链表

网络投稿 02-07 3067

1、例题引入

2、何为带环链表

3、题解思路

4、拓展问题

? ?（1）slow一次走1步，fast一次走2步，一定能追上吗？

? ?（2）slow一次走1步，fast一次走3步，能追上吗？fast一次走4步呢？n步呢？

? ?（3）链表环的入口点在哪呢？

1、例题引入 ?链接直达：

环形链表

题目：

2、何为带环链表

?正常的单链表每个节点顺次链接，最后一个节点指向NULL，如下：

?而带环链表的最后一个节点不再指向NULL了，指向的是前面任意一个节点，以此形成带环链表，并一直循环下去。如下：

3、题解思路

我们可以将上述图画的抽象一点，在没有进入环之前我们用直线表示，进入环之后用圈来表示，以此示意循环。此题需要用到我们之前讲解的求中间节点和求倒数第k个节点的快慢指针的思想。定义两个指针slow和fast均指向一开始的位置。让slow一次走一步，fast一次走两步。

当slow走到直线一半的位置时，此时的fast刚好就在环的入口点。

?假设slow刚好走到环的入口点时，fast走到如下位置，此时fast开始追赶模式

?fast开始追赶slow，假设fast在如下的位置开始追上slow

代码如下： bool hasCycle(struct ListNode *head) { struct ListNode*slow=head; struct ListNode*fast=head; while(fast&&fast->next) { slow=slow->next; fast=fast->next->next; if(slow==fast) { return true; } } return false; }

单纯从解体的角度看，此题并不复杂，仅需用到快慢指针的思想即可解决，单是由此题可以引出多个值得我们探讨的问题，以此来加深我们对环形链表的认知，如下三大拓展问题：

4、拓展问题（1）slow一次走1步，fast一次走2步，一定能追上吗？ ?答案：一定能。证明：

当slow走到中间的时候，fast一定进环了，此时fast开始追击。我们假设slow进环以后，slow和fast的距离是N，此时slow走1步，fast走2步，它们俩的距离缩短1变为N-1。以此类推，每次追击，距离缩小1，当距离缩小为0时就追上了。综上，一定能追上。

（2）slow一次走1步，fast一次走3步，能追上吗？fast一次走4步呢？n步呢？ ?答案：不一定证明：

我们先来讨论slow一次走1步，fast一次走3步的情况。假设slow走了1步，fast走3步时刚好进环，而当slow刚好进环的时候，fast可能已经走了1圈，具体情况得看环的大小，此时slow和fast之间的距离为N。并假设环的长度是C。

slow一次走1步，fast一次走3步，距离变为N-2。由此可见，fast和slow每走一次，距离缩短2。此时就不难发现了，需要分类讨论，当N是偶数时，刚好可以追上，当N是奇数时，追到最后距离为-1，此时就要再追了，意味着slow和fast之间的距离变成C-1。

继续追击，根据前面的分析，如果C-1是偶数，那么可以追上。如果C-1是奇数，那么就永远追不上了，将会无线循环追下去，可就是追不上。他们的差距N是由进环前的长度和环的长度决定的，而这两个又都是随机的，所以N的值不确定，可奇可偶，又像刚刚那样讨论下去，出现奇数将一去不复返。

同理fast一次走4步也是这样的讨论，同样都是不一定，不过这个时候是每走一次，距离缩短3。当N是3的倍数就可以追上，当不是3的倍数就要继续讨论了，有兴趣的童鞋可以继续钻研下去，思想和fast一次走3步一样，这里不过多赘述。

（3）链表环的入口点在哪呢？

?当我们搞清楚slow和fast分别走的距离时，入口点自然就明了了。

法一：

slow一次走1步，fast一次走2步，那么fast走的距离是slow的2倍

在具体讲解之前，首先要搞清楚，不存在说慢指针slow在里头走了一圈，快指针fast还没有追到slow，因为fast每次走2步，slow每次走1步，它俩间的距离每次都缩小1，所以只会越来越近，直到追到。最多最多也就快1圈，但从来也不会刚好满1圈。所以下面很容易推出slow和fast分别走了多少。

假设：【链表头 - - - 入口点】：L【入口点 - - - 相遇点】：X【环的长度】：C

slow走的距离：L + X

fast走的距离：L + N*C + X

解释：

因为先前已经提到slow不会都走了一圈还没被追到，所以很容易推出slow的距离就是L+X

而快指针一次走2步，很可能会因为环过小导致在slow指针进入入口点前，fast指针已经走了好几圈。简而言之3句话：

L很小，C很大，slow进环前，fast可能在环里面，一圈都没走完L很大，C很小，slow进环前，fast在里面走了很多圈了但是slow进环以后，在一圈之内，fast一定追到slow，它们的距离最多C-1

根据一开始说的，fast走的距离是slow走的距离的2倍，可列出如下式子：

2*(L+X) = L?+ N*C + X

化简后：L+X = N*C? ? ?或? ? L = N*C - X? ? ?或? ? ?L = (N-1)*C + (C-X)? ? ?或? ? ?L + X = N*C

用此公式即可证明：一个指针从meet走，一个指针从head走，他们会在入口点相遇！

因为式子(N-1)*C表明从相遇点走了N-1圈后又回到了相遇点，此时再走C-X的距离就回到了入口点，由上得知，此公式确实让它们回到了入口点。

用一道切实的题目来具体解出入口点的位置：链接直达：

环形链表2.0-->寻找入口点

题目：

?代码如下： struct ListNode* detectCycle(struct ListNode* head) { struct ListNode* slow = head; struct ListNode* fast = head; while (fast && fast->next) { //判断是否是带环链表 slow = slow->next; fast = fast->next->next; if (slow == fast) { struct ListNode* meet = slow; while (meet != head) { //求出相遇点 meet = meet->next; head = head->next; } return meet; } } return NULL; } 求相遇点还有另外一种方法：

找到相遇点meet后，让meet做尾，让下一个点做新链表的头

此法显的尤为巧妙，刚好转换成了两个链表求交点的问题。因为此时headA链表的尾部是meet，而headB链表的尾部也是meet，此时就意味着俩链表必会相交，而相交的地方就是入口点，两链表相交正是博主上篇博文中所详细讲解的，这里就不过多强调了。