本文编辑：调皮哥的小助理
本文来源：X. Li, X. Wang, Q. Yang and S. Fu, “Signal Processing for TDM MIMO FMCW Millimeter-Wave Radar Sensors,” inIEEE Access, vol. 9, pp. 167959-167971, 2021, doi: 10.1109/ACCESS.2021.3137387.（有删改）
摘要本教程系统地介绍了用于TDM-MIMO FMCW 毫米波 (mmWave) 汽车雷达的基于离散傅里叶变换（DFT）的信号处理技术的基本工作原理和分析细节，十分适合毫米波雷达初学者学习，全文万字，希望各位认真阅读。
毫米波雷达具备了关键的感知能力，可保障传统和自动驾驶汽车的安全功能。汽车雷达传感器用于检测感兴趣的目标的存在以及位置，能够更加全面准确地了解道路状况和周围环境。汽车雷达越来越需要在距离-多普勒-方位角-仰角域提供高分辨率测量（4D雷达）。因此，目前最先进的汽车雷达通常采用 MIMO 技术，通过一系列的信号处理算法实时处理大量多维数据。
关于雷达信号处理基础技术的详细介绍，散落在大量经典雷达系统的文献中。截止目前，还没有一本涵盖最新 TDM-MIMO FMCW 雷达技术的教程，这对于汽车毫米波雷达领域新入门的研究人员来说，学习和理解起来非常困难。
本文包含足够多的技术细节，作为一本教程，它有助于为汽车应用先进雷达信号处理技术的探索和开发奠定坚实的分析基础，本文提出的算法细节和分析结果可以很容易地应用于实时实现和后端处理。
最后，本文介给出了仿真和实验结果，以验证解释推导的原理，并展示 TDM-MIMO 雷达传感器在实际实现中的性能。
调皮哥笔记：摘要主要内容，第一是概述本文的主要内容；第二是毫米波雷达应用于汽车的背景；第三是本文的问题点，即能够解决什么问题；第四是本文的作用以及具体内容，如帮助新入门的研究人员理解和学习、具有仿真和实验结果等。
关键词：AOA, automotive, Doppler, ranging, MIMO, mmWave.
1.概述汽车雷达传感器正在成为自动驾驶汽车和传统汽车的高级驾驶员辅助系统 (ADAS) 的关键组件。此类传感器可以支持的安全功能包括自动紧急制动 (AEB)、自主紧急转向 (AES)、自适应巡航控制 (ACC)、前向碰撞警告 (FCW) 和变道辅助 (LCA) 等。汽车雷达传感器可用于通过估计其距离、速度和角度来感知感兴趣目标的存在和位置。汽车雷达传感器的目标是全面准确地感知道路状况和周围环境，以有效保护车辆乘员和易受伤害的道路使用者的安全。雷达传感器不受光照强度变化和天气条件的影响，可以提供距离和速度的准确测量，并且可以封装在不透明的面板后面。因此，雷达传感器可以很好地适合汽车安全传感器组件，以辅助其他类型传感器（如摄像头和激光雷达）的功能上的不足。
最近，广泛的研究和开发工作集中在用于汽车和工业应用的毫米波 (mmWave) 雷达技术上。当前最先进的汽车雷达采用线性调频连续波 (FMCW) 信号、76 - 81 GHz 的毫米波频段和多输入多输出 (MIMO) 技术。
毫米波雷达是发射信号波长在毫米范围内的信号。因此，可以减小组件、天线和系统的尺寸，同时在运动检测中提供毫米级检测精度；具有并置发射和接收天线的 MIMO 雷达，可提供较大的虚拟孔径来提高角度分辨率。MIMO 雷达通过使用诸如时分复用 (TDM)、频分复用 (FDM) 和码分复用 (CDM) 等复用技术来实现波形正交性。TDM 通常用于汽车雷达，因为它在实际实现中简单且成本低。毫米波半导体器件和 RF CMOS 技术的重大进步已经实现了高级雷达芯片集成。德州仪器和恩智浦等多家半导体制造商现已提供单芯片雷达解决方案。
信号处理一直是雷达技术的关键组成部分，汽车雷达应用的独特性要求制定和推导不同于经典雷达概念的新信号处理方法。因此，在过去的几年里，专注于汽车雷达信号处理各个方面的研发工作稳步增加。最近的文献中有几篇评论论文简要介绍了汽车雷达的许多信号处理方面。然而，目前在文献中并没有涵盖最新 TDM-MIMO FMCW 雷达技术的细节性综合教程论文。
毫米波雷达设备的制造商以白皮书和应用说明的形式提供了许多简短的教程，这些教程仅包含有限的介绍材料和选定的结果，没有足够的细节或深入分析。另一方面，关于雷达信号处理基础技术的详细说明分散在大量经典雷达技术的文献中。很多时候，将经典技术推广到新的汽车应用需要付出巨大的努力，这对于该领域的新研究人员和从业者（学生或技术人员）来说，学习起来非常不容易。
汽车雷达越来越需要在距离-多普勒-方位角-仰角域中提供高分辨率多维测量。因此，最先进的汽车雷达通常采用 MIMO 技术。与传统雷达相比，MIMO 雷达产生更大的多维数据块，需要通过一些列信号处理算法进行处理。
本教程的目的是系统地介绍最新TDM- MIMO FMCW 毫米波雷达的基于离散傅里叶变换 (DFT) 的信号处理技术的基本工作原理和分析细节。
本文作为教程包含了足够的技术细节。因此，本文填补了当前文献的空白，有助于为汽车应用先进雷达信号处理技术的探索和开发奠定坚实的分析基础。由于推导和分析是基于基本的 DFT 理论，因此本文提出的算法细节和分析结果可以很容易地应用于实时实现和后端处理。
本文的其余部分安排如下：第 2节介绍了 FMCW 毫米波雷达的信号和系统模型。然后，距离处理、多普勒处理和角度处理将在接下来的3、4、5节中详细讨论。第 6节介绍了最先进的 TDM MIMO 雷达技术。第7节简要介绍了雷达信号处理流程。第 8节和第9节分别介绍了一些仿真和实验结果，以验证解析推导并展示 TDM MIMO 雷达的性能。第 10节归纳了许多相关工作。最后，本文以第 11节的总结和结论结束。
调皮哥的笔记：文章第一节的概述部分主要讲述了以下内容，第一是以汽车应用引出毫米波雷达传感器；第二是说明了MIMO毫米波雷达的优势以及目前发展情况；第三是讲述信号处理在毫米波雷达技术中的作用，并引出了当前存在的问题。第四是TDM-MIMO雷达的分析，并讲述了本文的主要研究内容。最后是本文的章节结构的说明。
2.毫米波雷达信号和系统模型雷达系统从发射天线（Tx）发射信号 x T ( t ) x_T(t) xT?(t) ，如图1所示，当信号击中目标时，部分信号能量(即雷达回波)被反射回雷达接收天线（Rx），在此接收为信号 x R ( t ) x_R(t) xR?(t)。 雷达系统处理接收到的信号 x R ( t ) x_R(t) xR?(t) 以提取距离、速度和角度以及其他目标特征，以检测、定位、跟踪和识别目标对象 。
（图1 雷达系统框图)
在本文中，我们专注于使用线性 FMCW 信号的雷达系统，线性 FMCW 信号可以提供大的时间带宽积，这使得同时实现高距离分辨率和高信噪比 (SNR) 成为可能 。 FMCW 信号由图 2 所示的起始频率 f c f_c fc?、带宽 B 和持续时间 T c T_c Tc? 表示。持续时间 T c T_c Tc?上的 FMCW 信号称为啁啾（chirp），也叫做调频信号， 调频信号的频率随时间以线性增加。 (图2 FMCW信号模型)
FMCW 信号可以用正弦函数表示为公式1：
x T ( t ) = cos ? ( 2 π f c t + π S t 2 ) x_T(t)=\cos \left(2 \pi f_c t+\pi S t^2\right) xT?(t)=cos(2πfc?t+πSt2)（1）
而其瞬时频率可以表示为公式2，其中频率可以由公式 θ = ω t = 2 π f t \theta=\omega t=2 \pi f t θ=ωt=2πft 求导得出。
f ( t ) = 1 2 π d d t ( 2 π f c t + π S t 2 ) = f c + S t f(t)=\frac{1}{2 \pi} \frac{d}{d t}\left(2 \pi f_c t+\pi S t^2\right)=f_c+S t f(t)=2π1?dtd?(2πfc?t+πSt2)=fc?+St（2）
在操作中，如图 1 所示，雷达接收器将接收信号 x R ( t ) x_R(t) xR?(t) 与发射信号 x T ( t ) x_T(t) xT?(t)混合，并对所得信号进行低通滤波以产生中频 (IF) 信号 x I F ( t ) x_{I F}(t) xIF?(t) 。 随着 FMCW 信号 x T ( t ) x_T(t) xT?(t) 的频率随时间线性增加， x T ( t ) x_T(t) xT?(t) 和 x R ( t ) x_R(t) xR?(t) 的瞬时频率，即 f R ( t ) f_R(t) fR?(t) 和 f T ( t ) f_T(t) fT?(t)在混合时是不同的。 低通滤波的作用是滤除频率为 f R ( t ) + f T ( t ) f_R(t)+f_T(t) fR?(t)+fT?(t) t的信号分量，同时允许频率为 f R ( t ) ? f T ( t ) f_R(t)-f_T(t) fR?(t)?fT?(t)的信号分量通过。 最后可以得到中频信号，表示为公式3。
x I F ( t ) = LPF ? { x T ( t ) x R ( t ) } = A cos ? ( 2 π f I F t + ? I F ) x_{\mathrm{IF}}(t)=\operatorname{LPF}\left\{x_T(t) x_R(t)\right\}=A \cos \left(2 \pi f_{\mathrm{IF}} t+\phi_{\mathrm{IF}}\right) xIF?(t)=LPF{xT?(t)xR?(t)}=Acos(2πfIF?t+?IF?)（3）
其中 f I F = f R ( t ) ? f T ( t ) f_{I F}=f_R(t)-f_T(t) fIF?=fR?(t)?fT?(t)。 如下所述， f I F f_{I F} fIF? 不是时间的函数，它的频率将保持不变。 恒定的频差 f I F f_{I F} fIF? 称为拍频 、中频、差频或者差拍频率。
正如在 RF 应用中经常使用的那样，正交信号可用于接收机，以降低对中频信号高速采样的要求以及其他设计考虑因素 。 使用正交接收机，接收到的信号 x T ( t ) x_T(t) xT?(t) 和 x R ( t ) x_R(t) xR?(t) 的 同相和正交信号混合，产生一个复指数中频信号，可以用公式4表示，以供下一步处理。
x I F ( t ) = A e j ( 2 π f I F t + ? I F ) x_{\mathrm{IF}}(t)=A e^{j\left(2 \pi f_{I F} t+\phi_{\mathrm{IF}}\right)} xIF?(t)=Aej(2πfIF?t+?IF?)（4）
与雷达相距 r的物体，在发射信号发出后，到被物体反射回来，经过一段延迟时间到达接收天线，这个过程可以用公式5表示。
τ = 2 r / c \tau=2 r / c τ=2r/c（5）
其中c是光速。 如图 3 所示，当发射和接收的调频信号在时间上重叠时，中频信号频率（即拍频）在有效接收周期内保持恒定，中频频率可以由公式6表示。
f I F = f T ( t ) ? f R ( t ) = S τ ( 6 ) f_{\mathrm{IF}}=f_T(t)-f_R(t)=S \tau(6) fIF?=fT?(t)?fR?(t)=Sτ(6)（6）
其中 S 是线性增加的调频信号频率的斜率， S = B / T c S=B / T_c S=B/Tc? ，如图2中所定义。
(图3 中频信号模型)
在公式4中，中频信号的相位可以在回波信号到达接收天线时的中频信号开始时刻确定。 因此，才给定了公式1中的发射调频信号模型，因为对于典型的毫米波雷达系统，调频信号的起始频率 f c f_c fc? 远大于 S τ / 2 S \tau / 2 Sτ/2 。中频信号的相位可以用公式7表示。
? I F = 2 π f c τ + π S τ 2 ≈ 2 π f c τ ( 7 ) \phi_{\mathrm{IF}}=2 \pi f_c \tau+\pi S \tau^2 \approx 2 \pi f_c \tau(7) ?IF?=2πfc?τ+πSτ2≈2πfc?τ(7)（7）
综上所述，雷达测距时，物体所对应的中频信号是复指数信号，可以用公式8表示。
x I F ( t ) = A e j ( 2 π f I F t + ? I F ) x_{\mathrm{IF}}(t)=A e^{j\left(2 \pi f_{\mathrm{IF}} t+\phi_{\mathrm{IF}}\right)} xIF?(t)=Aej(2πfIF?t+?IF?)（8）
中频信号具有的频率和相位分别表示为公式9和公式10。
f I F = S τ = 2 S r / c ( 9 ) f_{\mathrm{IF}}=S \tau=2 S r / c(9) fIF?=Sτ=2Sr/c(9) ? I F = 2 π f c τ = 4 π r / λ ( 10 ) \phi_{\mathrm{IF}}=2 \pi f_c \tau=4 \pi r / \lambda(10) ?IF?=2πfc?τ=4πr/λ(10)
注意： 当然，上述这些推导过程忽略了很多信息，比如多普勒频移等，具体的内容可以查看另外一篇文章： 调皮连续波：雷达原理 | 用MATLAB信号处理是如何解算目标的距离和速度信息的？
参数 λ = c / f \lambda=c / f λ=c/f 是调频信号在起始频率fc处的波长。 当多个物体将调频信号反射回雷达时，接收到的中频信号是多个复指数信号的线性组合（相加），每个信号的频率和相位都与每个物体的距离相对应。 本文的其余部分主要关注 公式8~10 中的中频信号模型。
3. 距离处理 A.距离-DFT为了进行进一步的数字信号处理，公式8中的中频信号 x I F ( t ) x_{I F}(t) xIF?(t) 以采样频率 Fs 被采样 N 次。 得到的离散时间复指数信号可以表示为公式11。
x [ n ] = A e j ? II? e j n ω I F x[n]=A e^{j \phi_{\text {II }}} e^{j n \omega_{\mathrm{IF}}} x[n]=Aej?II??ejnωIF?（11）
对于 0 ≤ n < N s 0 \leq n<N_s 0≤n<Ns? ，其中离散时间角频率可以表示为公式12。
ω I F = 2 π f I F / F s \omega_{\mathrm{IF}}=2 \pi f_{\mathrm{IF}} / F_s ωIF?=2πfIF?/Fs?（12）
公式11 中有限持续时间离散时间信号 x[n] 的傅里叶变换可以推导出为公式13。
X ( ω ) = F { x [ n ] } = ∑ n = 0 N s ? 1 x [ n ] e ? j n ω = A e j ? I F P N s ( ω ? ω I F ) \begin{aligned} X(\omega) &=\mathcal{F}\{x[n]\}=\sum_{n=0}^{N_s-1} x[n] e^{-j n \omega} \\ &=A e^{j \phi_{\mathrm{IF}}} P_{N_s}\left(\omega-\omega_{\mathrm{IF}}\right) \end{aligned} X(ω)?=F{x[n]}=n=0∑Ns??1?x[n]e?jnω=Aej?IF?PNs??(ω?ωIF?)?（13）
其中， P N s ( ω ) P_{N s}(\omega) PNs?(ω) 可以表示为公式14。
P N ( ω ) = ∑ n = 0 N ? 1 e ? j n ω = sin ? ( ω N / 2 ) sin ? ( ω / 2 ) e ? j ω ( N ? 1 ) / 2 P_N(\omega)=\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j n \omega}=\frac{\sin (\omega N / 2)}{\sin (\omega / 2)} e^{-j \omega(N-1) / 2} PN?(ω)=∑n=0N?1?e?jnω=sin(ω/2)sin(ωN/2)?e?jω(N?1)/2（14）
调皮哥的笔记：截断效应 实际中遇到的序列 x ( n ) x(n) x(n) 可能是无限长的，用DFT对其进行谱分析时，必须将其截短 y ( n ) = x ( n ) w ( n ) y(n)=x(n) w(n) y(n)=x(n)w(n) ，形成有限长序列 w ( n ) w(n) w(n) 称为窗函数，长度为N， w ( n ) = R N ( n ) w(n)=R_N(n) w(n)=RN?(n) 称为矩形窗函数。 根据傅里叶变换的频域卷积原理，有 Y ( e j w ) = F T [ y ( n ) ] = 1 2 π X ( e j w ) ? W ( e j w ) = 1 2 π ∫ ? π π X ( e j θ ) W ( e j ( w ? θ ) ) d θ Y\left(e^{j w}\right)=F T[y(n)]=\frac{1}{2 \pi} X\left(e^{j w}\right) * W\left(e^{j w}\right)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi X\left(e^{j \theta}\right) W\left(e^{j(w-\theta)}\right) d \theta Y(ejw)=FT[y(n)]=2π1?X(ejw)?W(ejw)=2π1?∫?ππ?X(ejθ)W(ej(w?θ))dθ 其中 X ( e j w ) = F T [ x ( n ) ] W ( e j w ) = F T [ w ( n ) ] X\left(e^{j w}\right)=F T[x(n)] \quad W\left(e^{j w}\right)=F T[w(n)] X(ejw)=FT[x(n)]W(ejw)=FT[w(n)] 对矩形窗函数 w ( n ) = R N ( n ) w(n)=R_N(n) w(n)=RN?(n)，有 W ( e j w ) = F T [ w ( n ) ] = e ? j w N ? 1 2 sin ? ( w N / 2 ) sin ? ( w / 2 ) = W g ( w ) e j φ ( w ) W\left(e^{j w}\right)=F T[w(n)]=e^{-j w \frac{N-1}{2}} \frac{\sin (w N / 2)}{\sin (w / 2)}=W_g(w) e^{j \varphi(w)} W(ejw)=FT[w(n)]=e?jw2N?1?sin(w/2)sin(wN/2)?=Wg?(w)ejφ(w) W g ( w ) = sin ? ( w N / 2 ) sin ? ( w / 2 ) W_g(w)=\frac{\sin (w N / 2)}{\sin (w / 2)} Wg?(w)=sin(w/2)sin(wN/2)? （等比数列求和公式计算出）
显然， P N ( ω ) ) \left.P_N(\omega)\right) PN?(ω)) 是长度为N的矩形窗函数的傅里叶变换。 那么，x[n]的离散傅里叶变换（DFT）可以表示为公式15。
X [ k ] = DFT ? { x [ n ] } = X ( ω ) ∣ ω = 2 π k / N s = A e j ? I P N s ( 2 π N s k ? ω I F ) \begin{aligned} X[k] &=\operatorname{DFT}\{x[n]\}=\left.X(\omega)\right|_{\omega=2 \pi k / N_s} \\ &=A e^{j \phi_{\mathbb{I}}} P_{N_s}\left(\frac{2 \pi}{N_s} k-\omega_{\mathrm{IF}}\right) \end{aligned} X[k]?=DFT{x[n]}=X(ω)∣ω=2πk/Ns??=Aej?I?PNs??(Ns?2π?k?ωIF?)?（15）
其中， 0 ≤ k < N s 0 \leq k<N_s 0≤k<Ns? 。 根据傅里叶变换理论， D F T X [ k ] D F T X[k] DFTX[k] 的索引k对应于频率 f k = k F s / N s f_k=k F s / N s fk?=kFs/Ns 。 因此，基于公式9中的频率-范围关系， X [ k ] X[k] X[k]的索引轴可以转换为距离单位，如公式16所示。
r k = f k c 2 S = k c F s 2 S N s = k c 2 S T ~ c = k c 2 B ~ r_k=f_k \frac{c}{2 S}=k \frac{c F_s}{2 S N_s}=k \frac{c}{2 S \tilde{T}_c}=k \frac{c}{2 \tilde{B}} rk?=fk?2Sc?=k2SNs?cFs??=k2ST~c?c?=k2B~c?（16）
对于 0≤k<Ns。 公式16中， T ~ c = N s / F s \tilde{T}_c=N_s / F_s T~c?=Ns?/Fs? 是采样中频信号的时间长度（即ADC采样窗口长度）， B ~ = S T ~ c \tilde{B}=S \tilde{T}_c B~=ST~c? 是调频信号的扫描带宽（即有效带宽）。
因此， r k r_k rk? 在公式16中称为距离门，而 X [ k ] X[k] X[k] 在公式15中被称为范围-DFT（或距离-FFT）。 当相对于距离门绘制频谱图时，幅度谱 ∣ X [ k ] ∣ |X[k]| ∣X[k]∣在对应于将调频信号反射回雷达接收器的物体的距离处显示出尖峰，意思就是频率能够表征出距离的信息。
根据奈奎斯特采样定理，信号x[n]中的最高频率分量最多应为Fs/2。 然而，当使用正交采样接收机时，对于 0 < f I F ≤ F s / 2 0<f_{I F} \leq F s / 2 0<fIF?≤Fs/2 ，公式中的复指数中频信号在正频率上具有单边功率谱，而在负频率上没有功率。
对于 F s / 2 < f I F ≤ F s F s / 2<f_{I F} \leq F s Fs/2<fIF?≤Fs ， f I F f_{I F} fIF? 的频谱在负频率 f I F ? F s f_{I F}-F s fIF??Fs出现频谱混叠，因为 f I F f_{I F} fIF?高于奈奎斯特采样频率Fs/2（欠采样）。
由于 FMCW 雷达的工作原理， f I F f_{I F} fIF?始终为正频率，通过将 -Fs/2 和 0 之间的负频率上的频谱解释为 Fs 之间的正频率上的频谱，可以将通过公式15中的距离DFT 检测到的最高 f I F f_{I F} fIF?扩展到 Fs /2 和 Fs。 因此，基于公式9中的频率-距离关系，通过距离DFT可以检测到的目标范围被限制，由公式17表示。
r < c F S 2 S r<\frac{c F_S}{2 S} r<2ScFS??（17）
并且公式（16）中的范围轴对于0≤k<Ns有效。 实际上，雷达系统的中频带宽有限。 因此，最大可检测范围由最大中频带宽 B I F B_{I F} BIF? 决定，如果它小于采样频率Fs。 即 B I F < F s B_{I F}<F s BIF?<Fs ，那么 r < c B I F 2 S r<\frac{c B_{I F}}{2 S} r<2ScBIF?? 。
B.距离分辨率当多个物体将调频信号反射回雷达时，时域接收到的中频信号是各个反射物体产生的单个中频信号的线性组合。 由于 DFT 是线性变换，因此多个物体的整体距离谱是单个反射物体的频谱的线性组合。 因此，可以从距离谱中的峰值检测具有不同距离的物体。
根据傅里叶变换理论，长度为 T ~ c \tilde{T}_c T~c? 时间的信号的频率分辨率由 f res? = 1 / T ~ c f_{\text {res }}=1 / \tilde{T}_c fres??=1/T~c? 给出。 因此，基于公式（9），中频信号的距离分辨率可以确定为：
r res? = c 2 S f res? = c 2 S T ~ c = c 2 B ~ r_{\text {res }}=\frac{c}{2 S} f_{\text {res }}=\frac{c}{2 S \tilde{T}_c}=\frac{c}{2 \tilde{B}} rres??=2Sc?fres??=2ST~c?c?=2B~c?（18）
扫描带宽 B ~ \tilde{B} B~ 与 公式(16) 中的相同。 因此，使用 距离-DFT，可以区分在范围内相隔超过 c 2 B ~ \frac{c}{2 \tilde{B}} 2B~c? 的两个目标。
在实际中，在执行 DFT（即 FFT）之前，将诸如 Hamming（汉明）、Hanning（汉宁） 或 Blackman（布莱克曼）之类的窗口函数应用于时域信号 x[n] 可以减少旁瓣 。
窗口函数的使用有助于提高目标检测的准确性。 然而，窗口函数的使用也会降低距离分辨率。 例如，使用汉明或汉宁窗，距离分辨率比公式（18）低两倍，即 r r e s = c / B ~ r_{r e s}=c / \tilde{B} rres?=c/B~ ，因为汉明或汉宁窗的主瓣宽度是矩形窗的两倍 。
4. 多普勒处理 A.多普勒-DFT（速度-DFT）为了测量物体的速度，雷达可以发射两个间隔 Tc 时间的调频信号。 如果物体的速度是 v，在 Tc 的持续时间内，物体移动的距离为 Δ r = v T c \Delta r=v T_c Δr=vTc? 。 基于公式(9)和公式(10)中的中频信号模型，两个调频信号得到的中频信号在频率和相位上的差异可以表示为：
Δ f = 2 S Δ r / c = 2 S v T c / c \Delta f=2 S \Delta r / c=2 S v T_c / c Δf=2SΔr/c=2SvTc?/c（19） Δ ? = 4 π Δ r / λ = 4 π v T c / λ ( 20 ) \Delta \phi=4 \pi \Delta r / \lambda=4 \pi v T_c / \lambda (20) Δ?=4πΔr/λ=4πvTc?/λ(20)
当时间 Tc很小时， Δ f \Delta f Δf 与中频信号的频率相比可以忽略不计。 但是，当目标位移为毫米级时，由于毫米波调频信号的波长λ也为毫米级，雷达也可以检测到相位差。
(图4 等间隔chirp脉冲)
在实践中，如图 4 所示，雷达发射一组等距时间为 Tc 的 Nc个chirp信号。 调频信号的集合被称为调频帧和调频周期时间。。
定义 x m [ n ] , 0 ≤ n < N s x_m[n], \quad 0 \leq n<N_s xm?[n],0≤n<Ns? ，为从第m个调频信号中得到的采样中频信号。 那么，第m个调频信号的距离-DFT变为：
X m [ k ] = ∣ X m [ k ] ∣ e j ? m [ k ] = DFT ? { x m [ n ] } X_m[k]=\left|X_m[k]\right| e^{j \phi_m[k]}=\operatorname{DFT}\left\{x_m[n]\right\} Xm?[k]=∣Xm?[k]∣ej?m?[k]=DFT{xm?[n]}（21）
其中 0 ≤ m < N c ， 0 ≤ k < N s ， ∣ X m [ k ] ∣ 0 \leq \mathrm{m}<\mathrm{Nc} ， 0 \leq \mathrm{k}<\mathrm{Ns} ，\left|X_m[k]\right| 0≤m<Nc，0≤k<Ns，∣Xm?[k]∣ 和 ? m [ k ] \phi_m[k] ?m?[k] 分别是 X m [ k ] X_m[k] Xm?[k]的幅度和相位。
对于单个运动物体，由于当 Tc比较小时，公式19)中的 Δ f \Delta f Δf 可以忽略不计，我们可以从公式 (15) 观察到，对于给定的 k，沿它们的m轴（速度轴），角频率 ω I F \omega_{I F} ωIF? 和 X m [ k ] X_m[k] Xm?[k] 的大小保持不变。 然而，基于公式(20)， X m [ k ] X_m[k] Xm?[k]的相位由于帧中调频的等间距而线性变化。 因此，我们可以得出：
∣ X m [ k ] ∣ = ∣ X 0 [ k ] ∣ \left|X_m[k]\right|=\left|X_0[k]\right| ∣Xm?[k]∣=∣X0?[k]∣ (22) ? m [ k ] = ? 0 [ k ] + 4 π v T c λ m \phi_m[k]=\phi_0[k]+\frac{4 \pi v T_c}{\lambda} m ?m?[k]=?0?[k]+λ4πvTc??m(23)
其中， 0≤m<Nc ， 0≤k<Ns。 此外，定义：
y k [ m ] = X m [ k ] = X 0 [ k ] e j m ω v y_k[m]=X_m[k]=X_0[k] e^{j m \omega_v} yk?[m]=Xm?[k]=X0?[k]ejmωv?（24）
其中， 0≤m<Nc ， 0≤k<Ns，则有：
ω v = 4 π v T c / λ ( 25 ) \omega_v=4 \pi v T_c / \lambda(25) ωv?=4πvTc?/λ(25)
然后，我们可以观察到对于给定的 k， y k [ m ] y_k[m] yk?[m] 是一个有限持续时间的离散时间复指数信号，其离散时间角频率 ω v \omega_v ωv? 在 公式(25) 中被 定义。
与 距离-DFT 的讨论类似，现在可以将第二个DFT 应用于有限持续时间离散时间序列 y k [ m ] y_k[m] yk?[m] 以提取目标的速度。 它通常被称为 多普勒-DFT（或 多普勒-FFT）。
Y k [ l ] = DFT ? { y k [ m ] } = X 0 [ k ] P N c ( 2 π N c l ? ω v ) Y_k[l]=\operatorname{DFT}\left\{y_k[m]\right\}=X_0[k] P_{N_c}\left(\frac{2 \pi}{N_c} l-\omega_v\right) Yk?[l]=DFT{yk?[m]}=X0?[k]PNc??(Nc?2π?l?ωv?)（26）
其中 0 ≤ m < N c , 0 ≤ k < N s , P N ( ω ) ) \left.0 \leq m<N_c, \quad 0 \leq k<N_s, P_N(\omega)\right) 0≤m<Nc?,0≤k<Ns?,PN?(ω)) 是长度为N的矩形窗函数的傅里叶变换。根据傅里叶变换理论， D F T Y k [ l ] D F T Y_k[l] DFTYk?[l] 是一个周期序列，周期为Nc，其中， ? ∞ < l < ∞ -\infty<l<\infty ?∞<l<∞ ，索引 l l l （多普勒通道号或者脉冲个数）对应于离散时间角频率 ω l = 2 π l / N c \omega_l=2 \pi l / N_c ωl?=2πl/Nc? 。
对于速度 v 的准确测量，角频率被限制在 ? π ≤ ω < π -\pi \leq \omega<\pi ?π≤ω<π 的范围内，或者等效地 l l l 被限制在 ? N c / 2 ≤ l < N c / 2 -N c / 2 \leq l<N c / 2 ?Nc/2≤l<Nc/2 范围内。假设 Nc是偶数，就像使用 FFT 的情况一样。因此 , 基于公式 (25) 中的角频率-速度关系, Y k [ l ] Y_k[l] Yk?[l] 的索引轴可以转换为速度单位，可以用公式（27）表示。
v l = ω l λ 4 π T c = l λ 2 N c T c = l λ 2 T F v_l=\omega_l \frac{\lambda}{4 \pi T_c}=l \frac{\lambda}{2 N_c T_c}=l \frac{\lambda}{2 T_F} vl?=ωl?4πTc?λ?=l2Nc?Tc?λ?=l2TF?λ?（27）
其中 l l l， 被限制在 ? N c / 2 ≤ l < N c / 2 -N c / 2 \leq l<N c / 2 ?Nc/2≤l<Nc/2， l l l 可以看做是速度通道或者多普勒通道号，公式（27）其实等效为速度分辨率乘以速度通道号。参数 T F = N c T c T_F=N_c T_c TF?=Nc?Tc? 表示雷达的帧持续时间（帧周期），一般称为目标时间（TOT）。
现在可以针对速度轴绘制给定 k 的多普勒-DFT 频谱 Y k [ l ] Y_k[l] Yk?[l] 。 因此，可通过多普勒-DFT 检测到的速度（即最大不模糊速度）被限制为:
? λ 4 T c ≤ v < λ 4 T c -\frac{\lambda}{4 T_c} \leq v<\frac{\lambda}{4 T_c} ?4Tc?λ?≤v<4Tc?λ?（28）
正速度表示物体远离雷达，负速度表示物体向雷达移动（至于为什么，调皮哥之前的文章中有论述）。 公式（26）中给出的多普勒-DFT 频谱 Y k [ l ] Y_k[l] Yk?[l]通常使用 2D 热图或 3D 网格图来进行可视化。 将调频信号反射回雷达的物体可以在与物体的距离和速度值对应的坐标处的距离速度（即距离多普勒）频谱中以尖峰来区分。
B.速度分辨率当多个物体将调频信号反射回雷达时，时域接收的中频信号是由每个反射物体产生的单个中频信号的线性组合（叠加）。 由于DFT是线性变换，因此多个物体的整体距离-速度谱是单个反射物体光谱的线性组合，故而可以从距离-速度谱中的峰值中检测到具有不同距离和/或速度的物体。
长度为Nc的离散时间信号的角频率分辨率由 ω r e s = 2 π / N c \omega_{r e s}=2 \pi / N_c ωres?=2π/Nc? 给出。 因此，基于公式（25），速度分辨率可以确定为:
v res? = λ 4 π T c ω res? = λ 2 N c T c = λ 2 T F v_{\text {res }}=\frac{\lambda}{4 \pi T_c} \omega_{\text {res }}=\frac{\lambda}{2 N_c T_c}=\frac{\lambda}{2 T_F} vres??=4πTc?λ?ωres??=2Nc?Tc?λ?=2TF?λ?（29）
其中帧持续时间 T F T_F TF? 与公式 (27) 中的相同。 使用多普勒-DFT，可以区分相同距离但速度差大于 λ / ( 2 T F ) \lambda /\left(2 T_F\right) λ/(2TF?)的两个物体（即一个速度分辨率以上的物体）。 此外，类似于我们之前对距离处理的讨论，当在 多普勒-DFT 之前应用 Hamming 或 Hanning 窗以减少旁瓣时，速度分辨率会降低到 v res? = λ / T F v_{\text {res }}=\lambda / T_F vres??=λ/TF? 。
5.角度处理 A.角度-DFT目标反射的雷达调频信号的到达方向可以使用接收天线阵列来进行估计。图5说明了使用四个等距接收天线的均匀线性阵列的方向估计场景。假设物体在雷达的远场，即目标和雷达之间的距离远大于天线阵列的尺寸（或更准确地说目标和雷达之间的距离远大于天线阵列孔径）。
然后，到达接收机天线的信号以及从发射器天线到达物体的信号都可以被假设为平行的。 如图 5 所示，定义接收信号相对于垂直于线性接收天线阵列轴的天线阵列视轴方向的到达角 (AOA) 或到达方向 (DOA) θ。
(图5 使用四个接收天线的均匀线性阵列进行角度估计)
如图 5 所示，由于接收天线之间的间距，到达两个相邻接收天线的信号所经历的相对延迟可以表示为：
Δ τ = d sin ? ( θ ) / c \Delta \tau=d \sin (\theta) / c Δτ=dsin(θ)/c（30）
在这个公式（30）中，d是天线间距，θ 是接收到的雷达信号的 AOA，而 c是光速。 然后，根据公式（9）和公式式（10）中的中频信号模型，两个相邻接收天线接收到的中频信号在频率和相位上的差异表示为：
Δ f = S Δ τ = S d sin ? ( θ ) / c ( 31 ) \Delta f=S \Delta \tau=S d \sin (\theta) / c(31) Δf=SΔτ=Sdsin(θ)/c(31) Δ ? = 2 π f c Δ τ = 2 π d sin ? ( θ ) / λ ( 32 ) \Delta \phi=2 \pi f_c \Delta \tau=2 \pi d \sin (\theta) / \lambda(32) Δ?=2πfc?Δτ=2πdsin(θ)/λ(32)
参数λ=c/f是调频信号在起始频率 f c f_c fc? 处的波长。 与多普勒处理的讨论类似，当相对于反射物体的距离而言，公式(31) 中的频率差 f c f_c fc?与中频信号频率相比可以忽略不计。 然而，如下面详细讨论的，公式(32)中的相位差 Δ ? \Delta \phi Δ? 是可以被检测到的。
在雷达接收器处采用均匀线性天线阵列，假设具有 N R N_R NR? 个天线以均匀间距放置在一条直线上，如图 5 所示。 对于雷达发射的每个调频信号，雷达接收器从每个 N R N_R NR? 接收机天线获得一 个中频信号。 将来自第 i 个接收机天线的采样的中频信号表示为 x i [ n ] x^i[n] xi[n]，其中 0 ≤ i < N R , 0 ≤ n < N s 0 \leq i<N_R, 0 \leq n<N_s 0≤i<NR?,0≤n<Ns? 。 然后，从第 i 个接收天线获得的采样中频信号的距离-DFT 可以表示为公式（33）。
X ( i ) [ k ] = ∣ X ( i ) [ k ] ∣ e j ? ( i ) [ k ] = DFT ? { x ( i ) [ n ] } X^{(i)}[k]=\left|X^{(i)}[k]\right| e^{j \phi^{(i)}[k]}=\operatorname{DFT}\left\{x^{(i)}[n]\right\} X(i)[k]=∣ ∣?X(i)[k]∣ ∣?ej?(i)[k]=DFT{x(i)[n]}（33）
其中 0 ≤ i < N R , 0 ≤ n < N s ， ∣ X ( i ) [ k ] ∣ 0 \leq i<N_R, 0 \leq n<N_s ，\left|X^{(i)}[k]\right| 0≤i<NR?,0≤n<Ns?，∣ ∣?X(i)[k]∣ ∣? 和 φ ( i ) [ k ] \varphi^{(i)}[k] φ(i)[k] 分别是 X ( i ) [ k ] X^{(i)}[k] X(i)[k]的幅度和相位。
对于将调频信号反射回雷达接收机的单个目标，由于当目标在远场时，公式(31)中的 Δ f \Delta f Δf 可以忽略不计，我们可以从公式 (15) 中可以观察到，对于给定的 k，沿 i 轴，角频率 ω I F \omega_{I F} ωIF? 和 X ( i ) [ k ] X^{(i)}[k] X(i)[k]保持不变。 然而，基于公式(32)， X ( i ) [ k ] X^{(i)}[k] X(i)[k] 的相位由于均匀线性阵列中接收天线的等间距而线性变化。因此，我们可以推导出公式（34）和公式（35）。
∣ X ( i ) [ k ] ∣ = ∣ X ( 0 ) [ k ] ∣ \left|X^{(i)}[k]\right|=\left|X^{(0)}[k]\right| ∣ ∣?X(i)[k]∣ ∣?=∣ ∣?X(0)[k]∣ ∣?(34)
? ( i ) [ k ] = ? ( 0 ) [ k ] + 2 π d sin ? ( θ ) λ i \phi^{(i)}[k]=\phi^{(0)}[k]+\frac{2 \pi d \sin (\theta)}{\lambda} i ?(i)[k]=?(0)[k]+λ2πdsin(θ)?i(35)
其中, 0 ≤ i < N R , 0 ≤ k < N s 0 \leq i<N_R, 0 \leq k<N_s 0≤i<NR?,0≤k<Ns?，则有：
X ( i ) [ k ] = X ( 0 ) [ k ] e j i ω θ X^{(i)}[k]=X^{(0)}[k] e^{j i \omega_\theta} X(i)[k]=X(0)[k]ejiωθ?(36)
其中： ω θ = 2 π d sin ? ( θ ) / λ \omega_\theta=2 \pi d \sin (\theta) / \lambda ωθ?=2πdsin(θ)/λ（37）
基于公式（26）和公式（36），我们还可以推导出第 i 个接收天线的多普勒-DFT可以表示为：
Y k ( i ) [ l ] = X 0 ( i ) [ k ] P N c ( 2 π N c l ? ω v ) = X 0 ( 0 ) [ k ] P N c ( 2 π N c l ? ω v ) e j i ω θ \begin{aligned} Y_k^{(i)}[l] &=X_0^{(i)}[k] P_{N_c}\left(\frac{2 \pi}{N_c} l-\omega_v\right) \\ &=X_0^{(0)}[k] P_{N_c}\left(\frac{2 \pi}{N_c} l-\omega_v\right) e^{j i \omega_\theta} \end{aligned} Yk(i)?[l]?=X0(i)?[k]PNc??(Nc?2π?l?ωv?)=X0(0)?[k]PNc??(Nc?2π?l?ωv?)ejiωθ??（38）
其中, 0 ≤ i < N R , 0 ≤ k < N s , 0 ≤ l < N c , X m ( i ) [ k ] 0 \leq i<N_R, 0 \leq k<N_s, \quad 0 \leq l<N_c, X_m^{(i)}[k] 0≤i<NR?,0≤k<Ns?,0≤l<Nc?,Xm(i)?[k] 是第 i 个接收天线上第 m个调频的距离 DFT。此外，定义:
z k , l [ i ] = Y k ( i ) [ l ] z_{k, l}[i]=Y_k^{(i)}[l] zk,l?[i]=Yk(i)?[l]（39）
其中, 0 ≤ i < N R , 0 ≤ k < N s , 0 ≤ l < N c 0 \leq i<N_R, 0 \leq k<N_s, \quad 0 \leq l<N_c 0≤i<NR?,0≤k<Ns?,0≤l<Nc?。然后我们可以观察到，对于给定的 k和l 值， z k , l [ i ] z_{k, l}[i] zk,l?[i]是有限持续时间的离散时间复指数信号，其离散时间角频率 ω θ \omega_\theta ωθ? 在 (37) 中定义。类似于距离 DFT 和多普勒 DFT 的讨论 ，现在可以将第三个 DFT 应用于有限持续时间离散时间序列 z k , l [ i ] z_{k, l}[i] zk,l?[i] 以提取 AOA（角度）。 第三个DFT被称为角度-DFT（或角度-FFT），具体由公式（40）表示。
Z k , l [ η ] = DFT ? { z k , l [ i ] } = X 0 ( 0 ) [ k ] P N c ( 2 π N c l ? ω v ) P N R ( 2 π N R η ? ω θ ) \begin{aligned} Z_{k, l}[\eta] &=\operatorname{DFT}\left\{z_{k, l}[i]\right\} \\ &=X_0^{(0)}[k] P_{N_c}\left(\frac{2 \pi}{N_c} l-\omega_v\right) P_{N_R}\left(\frac{2 \pi}{N_R} \eta-\omega_\theta\right) \end{aligned} Zk,l?[η]?=DFT{zk,l?[i]}=X0(0)?[k]PNc??(Nc?2π?l?ωv?)PNR??(NR?2π?η?ωθ?)?（40）
其中, 0 ≤ η < N R , 0 ≤ k < N s , 0 ≤ l < N c 0 \leq \eta<N_R, 0 \leq k<N_s, 0 \leq l<N_c 0≤η<NR?,0≤k<Ns?,0≤l<Nc? 。窗函数 P N ( ω ) P_N(\omega) PN?(ω)在公式（14）中被定义。
在实际实现中，均匀线性阵列中的接收机天线数量通常很少，会引起难以可视化和解释的稀疏角度-DFT频谱，即由于FFT点数（接收天线个数）太少，形成的角度频谱看起来效果不是那么好。
为了解决这个问题， z k , l [ i ] z_{k, l}[i] zk,l?[i] 通常在序列的末尾用 N ? N R N-N_R N?NR? 个零填充（FFT补零），以通过使用更长的 N 点 DFT 来更好地显示频谱 z k , l [ η ] z_{k, l}[\eta] zk,l?[η]。
根据傅里叶变换理论，在补零的情况下， D F T z k , l [ η ] D F T z_{k, l}[\eta] DFTzk,l?[η]是一个周期序列，周期为N， ? ∞ < η < ∞ -\infty<\eta<\infty ?∞<η<∞ ，索引η对应于离散时间角频率 ω η = 2 π η / N \omega_\eta=2 \pi \eta / N ωη?=2πη/N 。 对于角度 θ 的明确测量，角频率被限制在 ? π ≤ ω < π -\pi \leq \omega<\pi ?π≤ω<π 的范围内，或者等效地， ? N / 2 ≤ η < N / 2 -N / 2 \leq \eta<N / 2 ?N/2≤η<N/2 ，假设 N是偶数，就像使用 FFT 的情况一样。 因此，基于公式(37)中的角频率-角度关系， z k , l [ η ] z_{k, l}[\eta] zk,l?[η] 的索引轴可以转换为角度单位。
θ η = sin ? ? 1 ( ω η λ 2 π d ) = sin ? ? 1 ( η λ N d ) \theta_\eta=\sin ^{-1}\left(\omega_\eta \frac{\lambda}{2 \pi d}\right)=\sin ^{-1}\left(\eta \frac{\lambda}{N d}\right) θη?=sin?1(ωη?2πdλ?)=sin?1(ηNdλ?)（41）
其中， ? N / 2 ≤ η < N / 2 -N / 2 \leq \eta<N / 2 ?N/2≤η<N/2 ，因此，线性天线阵列的视场角（FOV）可以确定为：
? sin ? ? 1 ( λ 2 d ) ≤ θ < sin ? ? 1 ( λ 2 d ) -\sin ^{-1}\left(\frac{\lambda}{2 d}\right) \leq \theta<\sin ^{-1}\left(\frac{\lambda}{2 d}\right) ?sin?1(2dλ?)≤θ<sin?1(2dλ?)（42）
因此，当接收天线的间距d为半波长 ( d = λ / 2 ) (d=\lambda / 2) (d=λ/2)时，雷达的FOV就是 ? 9 0 ° ≤ θ < 9 0 ° -90^{\circ} \leq \theta<90^{\circ} ?90°≤θ<90° 。这里的FOV其实是数学上的推导，具体雷达的FOV还与天线的设计有关，有的FOV取-3dB波束宽度，有的取-6dB波束宽度，具体看雷达的说明手册。
B.角度分辨率当多个目标将调频信号反射回雷达时，时域接收的 中频信号是由每个反射物体产生的单个中频信号的线性组合。 由于 DFT 是线性变换，因此角度-DFT 频谱是单个反射物体频谱的线性组合。 因此，可以从 3D（距离-速度-角度）谱中的峰值清楚地检测到具有不同距离、速度和/或角度的目标。
即使补零后， D F T z k , l [ η ] D F T z_{k, l}[\eta] DFTzk,l?[η] 的角频率分辨率仍由 N R N_R NR? 决定，即 ω res? = 2 π / N R \omega_{\text {res }}=2 \pi / N_R ωres??=2π/NR? 。
因为零填充不会提高 DFT 的频率分辨率。在公式（37）中， 由于 ω θ \omega_\theta ωθ? 和 θ \theta θ 之间存在非线性关系，因此推导角分辨率比公式（29）中的速度分辨率更复杂。 为了推导出角分辨率，我们定义：
ω θ 1 = 2 π d sin ? ( θ 1 ) / λ \omega_{\theta_1}=2 \pi d \sin \left(\theta_1\right) / \lambda ωθ1??=2πdsin(θ1?)/λ ω θ 2 = 2 π d sin ? ( θ 1 + Δ θ ) / λ \omega_{\theta_2}=2 \pi d \sin \left(\theta_1+\Delta \theta\right) / \lambda ωθ2??=2πdsin(θ1?+Δθ)/λ
然后，很容易得到： ω θ 2 ? ω θ 1 = 4 π d λ cos ? ( θ ˉ ) sin ? ( Δ θ 2 ) \omega_{\theta_2}-\omega_{\theta_1}=\frac{4 \pi d}{\lambda} \cos (\bar{\theta}) \sin \left(\frac{\Delta \theta}{2}\right) ωθ2???ωθ1??=λ4πd?cos(θˉ)sin(2Δθ?)
其中， θ ˉ = θ 1 + Δ θ / 2 \bar{\theta}=\theta 1+\Delta \theta / 2 θˉ=θ1+Δθ/2 。 通过设置 ∣ ω θ 2 ? ω θ 1 ∣ = ω res? = 2 π / N R \left|\omega_{\theta_2}-\omega_{\theta_1}\right|=\omega_{\text {res }}=2 \pi / N_R ∣ωθ2???ωθ1??∣=ωres??=2π/NR? ，我们可以推导出:
θ res? = ∣ Δ θ ∣ = 2 sin ? ? 1 ( λ 2 N R d cos ? ( θ ˉ ) ) \theta_{\text {res }}=|\Delta \theta|=2 \sin ^{-1}\left(\frac{\lambda}{2 N_R d \cos (\bar{\theta})}\right) θres??=∣Δθ∣=2sin?1(2NR?dcos(θˉ)λ?)（43）
因此，使用角度-DFT，可以区分相同距离、相同速度、但角度差大于 θ r e s \theta_{r e s} θres? 的两个目标。 此外，类似于我们之前对距离处理的讨论，当在角度-DFT 之前应用汉明或汉宁窗以减少旁瓣时，角分辨率会降低。
需要注意的是，公式（43）中的角分辨率取决于的值 ，这是两个感兴趣的角度之间的中点。当 θ ˉ = 0 \bar{\theta}=0 θˉ=0 时，角分辨率的值最小，随 θ ˉ \bar{\theta} θˉ向±90°移动而增加，角分辨率的值逐渐变大。
小角度近似常用于简化式公式（43）中的角分辨率公式。 即，当 Δ θ / 2 \Delta \theta / 2 Δθ/2 较小，且以弧度为单位时， sin ? ( Δ θ / 2 ) ≈ Δ θ / 2 \sin (\Delta \theta / 2) \approx \Delta \theta / 2 sin(Δθ/2)≈Δθ/2 ，可由此推导出：
θ res? = ∣ Δ θ ∣ = λ N R d cos ? ( θ ˉ ) \theta_{\text {res }}=|\Delta \theta|=\frac{\lambda}{N_R d \cos (\bar{\theta})} θres??=∣Δθ∣=NR?dcos(θˉ)λ?（44）
通常，线性天线阵列的角分辨率用雷达法线位置（即 θ ˉ = 0 \bar{\theta}=0 θˉ=0 ）和天线间距d=λ/2来表示，但公式（45）是以弧度为单位的角分辨率。
θ r e s = 2 / N R \theta_{\mathrm{res}}=2 / N_R θres?=2/NR?（45）
例如，当接收天线数量 时，线性接收天线阵列的角分辨率可以确定为 θ r e s = 29 \theta_{r e s}=29 θres?=29 。
6. TDM-MIMO雷达提高角度分辨率 A.TDM-MIMO雷达如公式(43)和公式(44)所示，均匀线阵的角分辨率直接取决于接收天线的数量。 增加接收天线扫描的数量可以提高雷达的角分辨率。 然而，每个额外的接收天线都需要设备上单独的接收机处理链，这将增加雷达接收器的复杂性和成本。 相比之下，MIMO技术为提高雷达角分辨率提供了一种经济有效的方法。 (图6 使用线性发射器和接收器天线阵列进行角度估计P)
MIMO雷达具有多个发射天线和多个接收天线。 如图6所示，当四个接收天线形成一个间距为d的均匀线性阵列时，发射天线排列在相同的接收阵列轴上，但间距为4d。 与前一节中的讨论类似，在每个接收天线处，与来自天线 Tx0 的信号相比，来自发射器天线 Tx1 的反射调频信号传播了 4dsin(θ) 的额外距离。 额外的距离导致的相移可以表示为：
Δ f = 4 S d sin ? ( θ ) / c = N R S d sin ? ( θ ) / c \Delta f=4 S d \sin (\theta) / c=N_R S d \sin (\theta) / c Δf=4Sdsin(θ)/c=NR?Sdsin(θ)/c (46)
Δ ? = 8 π d sin ? ( θ ) / λ = ω θ N R \Delta \phi=8 \pi d \sin (\theta) / \lambda=\omega_\theta N_R Δ?=8πdsin(θ)/λ=ωθ?NR? (47)
除了公式 (35) 中的外，这里的 定义与公式 (37)相同，NR 是接收天线的数量。 为便于表示，如图 6 所示，为 2T4R TDM MIMO 配置（即 NT=2 和 NR=4），可以定义基于公式（39）为一个行向量：
z k , l ( ι ) = [ z k , l ( ι ) [ 0 ] , z k , l ( ι ) [ 1 ] , … , z k , l ( ι ) [ N R ? 1 ] ] z_{k, l}^{(\iota)}=\left[z_{k, l}^{(\iota)}[0], z_{k, l}^{(\iota)}[1], \ldots, z_{k, l}^{(\iota)}\left[N_R-1\right]\right] zk,l(ι)?=[zk,l(ι)?[0],zk,l(ι)?[1],…,zk,l(ι)?[NR??1]]（48）
其中， z k , l ( ι ) [ i ] = Y k ( i , ι ) [ l ] z_{k, l}^{(\iota)}[i]=Y_k^{(i, \iota)}[l] zk,l(ι)?[i]=Yk(i,ι)?[l]（49）
其中， 0 ≤ k < N s , 0 ≤ l < N c , 0 ≤ i < N R , 0 ≤ ι < N T 。 Y k ( i , ι ) [ l ] 0 \leq k<N_s, 0 \leq l<N c, 0 \leq i<N_R, 0 \leq \iota<N_T 。 Y_k^{(i, \iota)}[l] 0≤k<Ns?,0≤l<Nc,0≤i<NR?,0≤ι<NT?。Yk(i,ι)?[l] 是使用来自第 ? \ell ?个发射天线的信号为第i个接收天线计算出的多普勒-DFT。 然后，从公式 (38) 和 (47)，我们可以得出：
z k , i ( ι ) [ i ] = X 0 ( 0 , 0 ) [ k ] P N c ( 2 π N c l ? ω v ) e j ( i + ι N R ) ω θ z_{k, i}^{(\iota)}[i]=X_0^{(0,0)}[k] P_{N_c}\left(\frac{2 \pi}{N_c} l-\omega_v\right) e^{j\left(i+\iota N_R\right) \omega_\theta} zk,i(ι)?[i]=X0(0,0)?[k]PNc??(Nc?2π?l?ωv?)ej(i+ιNR?)ωθ?（50）
其中， 0 ≤ k < N s , 0 ≤ l < N c , 0 ≤ i < N R , 0 ≤ ι < N T 0 \leq k<N_s, 0 \leq l<N c, 0 \leq i<N_R, 0 \leq \iota<N_T 0≤k<Ns?,0≤l<Nc,0≤i<NR?,0≤ι<NT?这里，其中 ， N T = 2 , N R = 4 , X m ( i , ι ) [ k ] N_T=2, N_R=4, \quad X_m^{(i, \iota)}[k] NT?=2,NR?=4,Xm(i,ι)?[k] 是第 ? \ell ? 个发射天线在第i个接收天线处接收到的第m个调频信号的距离-DFT。我们可以从公式(50)中观察到使用以下方法获得 来自两个发射天线的信号可以连接在一起的多普勒-DFT数据，如下所示：
z k , l = [ z k , l ( 0 ) , z k , l ( 1 ) , … , z k , l ( N T ? 1 ) ] z_{k, l}=\left[z_{k, l}^{(0)}, z_{k, l}^{(1)}, \ldots, z_{k, l}^{\left(N_T-1\right)}\right] zk,l?=[zk,l(0)?,zk,l(1)?,…,zk,l(NT??1)?]（51）
其中， z k , l ( ι ) z_{k, l}^{(\iota)} zk,l(ι)? 是使用来自第 ? \ell ? 个发射天线的信号获得的多普勒-DFT数据，如公式(48)中所定义。然后，在公式(51)中，对于给定的 k 、 l , z k , l k 、 l, \quad z_{k, l} k、l,zk,l? 是长度为 N T × N R N_T \times N_R NT?×NR?的离散时间复指数信号，其离散时间角频率 在公式 (37) 中定义了。
因此，公式(51)中的级联策略等效于使用一个发射天线和一个 N T × N R N_T \times N_R NT?×NR?接收天线的线性接收阵列的雷达配置。
一般而言，使用具有 N T N_T NT? 个发射天线和 N R N_R NR? 个接收天线的MIMO 雷达，我们可以合成一个由 N T × N R N_T \times N_R NT?×NR?个接收器天线组成的虚拟均匀线性阵列。
从公式(43)和(44)可以看出，虚拟线性接收机阵列中天线数量的增加可以有效提高角分辨率。在MIMO雷达的实际实现中，多发射天线可以工作在时分复用(TDM)的模式，如图 7 所示。
(图7 带有两个 TDM 发射天线的调频信号帧。)
在 TDM 模式下，发射天线轮流发射调频chirp信号。持续时间 T a = T c / N T T_a=T_c / N_T Ta?=Tc?/NT? 是每个发射天线发射一个调频信号所用的时间， 是所有发射天线一轮发射的时间。从公式 (28) 中，我们可以观察到 TDM-MIMO 雷达的角分辨率提高是以降低可通过多普勒处理检测到的最大速度（最大不模糊速度）为代价的，这一点需要各位读者注意，在设计雷达系统时一定要考虑，牺牲时间换空间的均衡性。
MIMO雷达的原理也可以扩展到多维阵列。 使用 2D-MIMO 阵列，可以测量到达的方位角和仰角，这对于汽车雷达应用来说通常是必需的。 基于本文提出的推导，对 2D-TDM-MIMO 阵列的扩展很简单，虽然相当繁琐，有兴趣的读者可以在参考文献[12] 中找到一些有用的信息。
B.速度引起的相位补偿当MIMO雷达的发射天线工作在TDM模式时，如图7所示，相邻两个发射天线发射的调频信号相隔 T a T_a Ta? 时间，而 T a = T c / N T , N T T_a=T_c / N_T, \quad N_T Ta?=Tc?/NT?,NT?为发射天线数。 与多普勒处理的讨论类似，如果物体的速度为 v v v ，在 T a T_a Ta? 的持续时间内，物体行进的距离为 Δ r = v T a \Delta r=v T_a Δr=vTa? 。因此，使用发射天线 Tx1 导出的中频信号会遇到额外的频率和相位偏移，即：
Δ f = 2 S Δ r / c = 2 S v T a / c = 2 S v T c / ( c N T ) \Delta f=2 S \Delta r / c=2 S v T_a / c=2 S v T_c /\left(c N_T\right) Δf=2SΔr/c=2SvTa?/c=2SvTc?/(cNT?)(52)
Δ ? = 4 π Δ r / λ = 4 π v T a / λ = ω v / N T ( 53 ) \Delta \phi=4 \pi \Delta r / \lambda=4 \pi v T_a / \lambda=\omega_v / N_T(53) Δ?=4πΔr/λ=4πvTa?/λ=ωv?/NT?(53)
相对于使用天线 Tx0 以及 公式(47) 导出的信号。 在这些等式中， ω v \omega_v ωv?是公式(25) 中定义的， N T N_T NT?是 MIMO 雷达中的发射天线数。 同样，与 中频信号频率相比，公式(52) 中速度引起的频移可以忽略不计。
然而，为了使用 TDM- MIMO 雷达进行正确的角度估计，在将角度 DFT 应用于公式 (51) 中定义的虚拟接收阵列数据之前，需要去除公式 (53) 中给出的速度引起的相移。 具体来说，随着速度引起的相移，那么公式(50) 中给出的多普勒-DFT 数据现在变为：
z k , l ( ι ) [ i ] = X 0 ( 0 , 0 ) [ k ] P N c ( 2 π N c l ? ω v ) e j ( i + ι N R ) ω θ e j ( ω v / N T z_{k, l}^{(\iota)}[i]=X_0^{(0,0)}[k] P_{N_c}\left(\frac{2 \pi}{N_c} l-\omega_v\right) e^{j\left(i+\iota N_R\right) \omega_\theta} e^{j\left(\omega_v / N_T\right.} zk,l(ι)?[i]=X0(0,0)?[k]PNc??(Nc?2π?l?ωv?)ej(i+ιNR?)ωθ?ej(ωv?/NT?（54）
其中， 0 ≤ k < N s , 0 ≤ l < N c , 0 ≤ i < N R , 0 ≤ ι < N T 0 \leq k<N_s, 0 \leq l<N c, 0 \leq i<N_R, 0 \leq \iota<N_T 0≤k<Ns?,0≤l<Nc,0≤i<NR?,0≤ι<NT? 。
为了补偿使用不同发射天线导出的信号之间的速度引起的相移，我们在公式 (54) 中应用相位校正 z k , l ( ι ) [ ? ˙ ] z_{k, l}^{(\iota)}[\dot{\imath}] zk,l(ι)?[˙] ，如下所示:
z ~ k , l ( ι ) [ i ] = z k , l ( ι ) [ i ] e ? j 2 π ι l / ( N c N T ) \tilde{z}_{k, l}^{(\iota)}[i]=z_{k, l}^{(\iota)}[i] e^{-j 2 \pi \iota l /\left(N_c N_T\right)} z~k,l(ι)?[i]=zk,l(ι)?[i]e?j2πιl/(Nc?NT?)（55）
其中， 0 ≤ k < N s , ? N c / 2 ≤ l < N c / 2 , 0 ≤ i < N R , 0 ≤ ι < N T 0 \leq k<N_s,-N c / 2 \leq l<N c / 2,0 \leq i<N_R, 0 \leq \iota<N_T 0≤k<Ns?,?Nc/2≤l<Nc/2,0≤i<NR?,0≤ι<NT? 。然后可以得到：
z ~ k , l ( ι ) = [ z ~ k , l ( ι ) [ 0 ] , z ~ k , l ( ι ) [ 1 ] , … , z ~ k , l ( ι ) [ N R ? 1 ] ] , ( 56 ) \tilde{z}_{k, l}^{(\iota)}=\left[\tilde{z}_{k, l}^{(\iota)}[0], \tilde{z}_{k, l}^{(\iota)}[1], \ldots, \tilde{z}_{k, l}^{(\iota)}\left[N_R-1\right]\right], \quad(56) z~k,l(ι)?=[z~k,l(ι)?[0],z~k,l(ι)?[1],…,z~k,l(ι)?[NR??1]],(56)
z ~ k , l = [ z ~ k , l ( 0 ) , z ~ k , l ( 1 ) , … , z ~ k , l ( N T ? 1 ) ] ( 57 ) \tilde{\boldsymbol{z}}_{k, l}=\left[\tilde{\boldsymbol{z}}_{k, l}^{(0)}, \tilde{\boldsymbol{z}}_{k, l}^{(1)}, \ldots, \tilde{\boldsymbol{z}}_{k, l}^{\left(N_T-1\right)}\right] \quad(57) z~k,l?=[z~k,l(0)?,z~k,l(1)?,…,z~k,l(NT??1)?](57)
从公式 (55) 中，我们可以观察到当 ω v = 2 π l / N c \omega_v=2 \pi l / N_c ωv?=2πl/Nc? 时，速度引起的相移从定义的公式 (57) 虚拟接收天线阵列数据中完全去除。 因此，在实践中，首先应用距离-DFT和多普勒-DFT来检测距离-速度域中的目标。 然后，在检测到物体的特定距离-速度单元上的虚拟接收天线上应用角度-DFT。 这种处理流程的一个含义是角度估计性能直接取决于速度估计的性能。
7.雷达信号处理流程如前几节所述，雷达发射一帧 N c N_c Nc?个调频信号，并使用 N R N_R NR? 个接收天线，或 TDM MIMO 模式下的 N R × N T N_R \times N_T NR?×NT? 虚拟接收器）接收反射的调频信号。 每个接收到的调频信号产生 N s N_s Ns? 个ADC样本的离散时间中频信号。 一帧调频信号产生的数据被组织成一个如图8所示的3D数据块，称为雷达数据立方体。
(图8 雷达数据立方体和数据上的 3D-DFT 的图示)
基本的雷达信号处理流程如图 9 所示。一旦雷达数据立方体可用，距离-DFT 首先应用于每个采样的中频信号（沿图 8 中所示的列）用于所有调频帧和虚拟接收通道（测距）。 然后沿 N c N_c Nc? 个chirp 的每一行执行多普勒-DFT（测速），以得出每个虚拟接收通道的距离-速度谱。 恒虚警率 (CFAR) 检测器通常应用于检测目标的距离速度谱 。 然后将角度-DFT 应用于包含所有虚拟接收通道中检测到的目标的每个距离-速度单元（测角）。FFT 算法几乎总是用于 DFT，但当需要以更高分辨率分析频谱的一部分时，也可以使用 zoom-FFT 和 Chirp-Z 变换算法。
(图9 雷达信号处理流程框图)
8.仿真结果为了验证本文提出的分析推导，我们使用 Python 进行了模拟仿真。在我们的实现中，采用NumPy （是Python的一种开源的数值计算扩展库）进行 FFT 计算。
仿真中使用的雷达参数值汇总在表 1 中，确定雷达的参数使得雷达仿真符合汽车应用环境中的典型短程雷达的需求，在本节和下一节中分别介绍的模拟和实验研究中使用相同的参数值。（设计雷达参数是需要雷达系统工程师根据实际的指标，根据雷达理论来完成参数确定） (表1 雷达参数)
在本节介绍的结果中，我们模拟了5个具有不同接收信号幅度 (A)、范围 ?、速度 ( v) 和角度 (θ) 的目标，如表 2 所示。在仿真中，首先使用公式 (8) 中的信号模型，采用多个调频信号、多接收天线场景的频率和相移模型为每个目标生成中频信号及 TDM MIMO 雷达配置。所有接收到的中频信号是每个模拟目标生成的信号的简单线性组合。模拟的中频信号的组织类似于图 8 中所示的雷达数据立方体结构。 (表2 目标的参数（仿真）)
然后，如本文所述，依次应用距离-DFT、多普勒-DFT和角度-DFT， FFT 和汉宁窗用于上述三个 DFT。距离-DFT 的线性谱和功率谱如图 10 所示。距离功率谱在所有调频信号和虚拟接收天线上上非相干地做平均。我们可以清楚地观察到与每个模拟对目标相对应的正确距离坐标处的频谱尖峰，这可以使用用于目标检测的 CFAR 检测算法轻松检测到。 (图10 距离域中距离-DFT 的线性谱和功率谱)
距离-速度（即距离-多普勒）功率谱如图 11 所示，带有热图阴影。从图中我们可以观察到，五个模拟目标在距离-速度域中是明显分开的。 距离-速度功率谱在所有虚拟接收天线上非相干地做平均，目标检测算法（CFAR）可以很容易地用于估计目标的距离和速度。
(图11 距离-速度域中多普勒-DFT的功率谱)
距离角功率谱如图 12 中的距离角域和图 13 中的二维笛卡尔空间域，均为 2T4R- TDM- MIMO 配置。为了方便比较，我们还在图 14 中包含了 2T4R- TDM- MIMO配置的距离角功率谱。 (图12 距离角域中 2-Tx-4-Rx TDMMIMO 配置的角 DFT 功率谱) (图14 2D 空间域中 2-Tx-4-Rx TDMMIMO 配置的角度 DFT 功率谱)
为了证明在第 6-B 节中提出的速度引起的相移补偿方法的有效性，得到和没有相位补偿的距离角功率谱分别如图 14a 和 14b 所示。 当速度引起的相移没有得到补偿时，我们可以观察到频谱峰值的角度偏移以及更高的频谱旁瓣。 (图14 4-Tx-4-Rx TDMMIMO 配置的角度 DFT 功率谱，补偿和不补偿速度引起的相移)
如图 12、13 和 14a 所示，通过适当的相位补偿，频谱峰值可以提供物体角度的准确估计。 但需要注意的是，仿真不包括任何噪声或干扰影响，并且物体在距离-速度域中分离良好。在实践中，角度估计精度受噪声和干扰的影响很大，目标的分辨能力在只具备较少数的虚拟接收天线时，角度域分辨力相当低。
角分辨率随着虚拟接收天线数量的增加而提高，这可以通过比较图13 和 14a观察。 此外，使用少量虚拟接收天线，在广角（例如目标 4 的-60°角），我们可以清楚地观察到由于 DFT 的周期性导致的频谱从负角度到正角度的频谱混叠，在频谱中，这种混叠给目标检测和角度估计带来了进一步的挑战和困难。
基于FFT的DoA估计角度分辨率与天线孔径成正比，天线孔径L = N*d，其中，N是天线数目，d是天线间距，通常N是不变的，那么我们如果想增加角度分辨率，有效方法就是提升d，但是提升d会引起角度模糊（angle ambiguity），角度模糊就是角度混叠。因此角度混叠的本质原因是：角度混叠是由于天线孔径间隔大引起的栅瓣，实质是由于天线对空间的采样率低，而接受天线数目少会影响的是角度的频谱分辨率和信噪比。
混叠（角度模糊）是针对一个角度的影响，而频谱分辨率是针对多个角度的影响。类似于距离模糊和距离分辨率，速度模糊和速度分辨率。
9.实验结果我们在本研究中使用的实验平台是德州仪器 (TI) 的 AWR2243BOOST，它是第二代 76 GHz 至 81 GHz 单芯片汽车毫米波雷达传感器评估模块。它可以配置为在 TDM MIMO 模式下运行，最多具有 3 个发射天线和 4 个接收天线，以估计方位角和仰角 。
FMCW调频信号波形和调频帧结构也可配置以满足不同应用场景的距离和速度估计要求。实验测量系统用于在UNT Discovery Park停车场采集数据，如图15所示。 (图15 使用 TI AWR2243BOOST 模块的 TDM MIMO FMCW 毫米波雷达的实验研究)
雷达系统的配置参数值与表 1 所示的仿真中使用的参数值相同，确定参数值以匹配汽车应用环境中的典型短程雷达要求 。
本文介绍的信号处理技术已在 Python 中实现，并应用于使用 AWR2243BOOST 模块获取的信号。使用 AWR2243BOOST 模块获取的原始雷达数据立方体依次使用距离-DFT、多普勒-DFT 和角度-DFT 进行后处理，如图 9 中的框图所示。在处理过程中省略了目标检测步骤，以便在整个角域上推导和可视化角度-DFT的功率谱，如图16所示。 (图16 使用 1-Tx-4-Rx 和 2-Tx-4-Rx TDM MIMO 配置测量的静止汽车在 10 m 距离处的角度 DFT 功率谱)
为了证明本文提出的TDM MIMO配置和相位补偿方法的有效性，我们使用 1T4R 和 2T4R TDM MIMO 配置收集距离雷达 10 m 处的静止汽车的雷达测量数据（即，与图 15 所示的场景相同）。角度-DFT 的功率谱如图16 所示。从结果中，我们可以清楚地观察到2T4R 配置的角分辨率远优于1T4R 配置。通过 2T4R TDMMIMO 配置，可以更准确地检测汽车和灯杆在 40 m 距离处的角位置（即 AOA）。
为了验证雷达传感器的速度估计能力，我们将骑自行车的人员目标引入到图 15 所示的测量场景中。 具体来说，一辆汽车停在雷达正前方 10 m 距离处，而骑自行车的人位于汽车右侧，人/自行车距离雷达大约 15 m 距离。
图 17 显示了使用2T4R-TDM MIMO 配置收集的数据的多普勒-DFT 功率谱。 在距离-速度域中的坐标（1.8 m/s，15 m）附近（红圈中），可以从多普勒-DFT 的功率谱中观察到移动的人/自行车。 在实践中，CFAR 检测器可以应用于功率谱，如第 7 节中简要讨论的那样。 然后，目标检测算法的输出可用于目标检测、分类、定位和跟踪等进一步的特定应用处理。 (图17 使用 2-Tx-4-Rx TDM MIMO 配置测量的静止汽车和骑自行车的人在 15 m 距离处的多普勒-DFT 功率谱)
10.相关工作雷达最初是为军事应用而开发的，具有悠久的研发历史。迄今为止，它已成功应用于各种应用。文献中提供了许多以雷达为重点的教科书，例如 [14] 和 [15]。这些教科书全面涵盖了常用术语、基本原理和处理算法，以及多种类型的雷达技术和系统的各种框架和分类。
但是，这些教科书没有详细介绍汽车雷达技术的最新发展，例如 TDM-MIMOFMCW 毫米波雷达。有关汽车雷达技术当前最新技术和未来研究方向的评论可在最近的出版物中找到，例如 [5 ]–[7]。
本论文与其他的论文不同，此类评论论文更多地关注覆盖的广度，而不是雷达信号处理技术任何特定方面的详细推导。现在，毫米波雷达设备的制造商以白皮书和应用说明的形式提供了专注于实施细节和实践方面的简短教程，包括例如 [12]、[16]-[18]。
与学术界的典型研究论文不同，此类工业教程往往只包含有限的介绍性材料和精选的结果，没有足够的分析细节或深入分析。因此，我们的论文很好地补充了文献中现有的教程。汽车雷达技术目前正在学术界和工业界积极研究和开发。超出本文范围的相关主题，有兴趣的读者可以参考[5]-[7 ]，对当前研究课题和未来方向进行了全面回顾。
近年来，关于汽车雷达的文献一直在急剧扩大。除了将经典雷达技术应用于汽车应用之外，人们也越来越关注利用传感器融合、机器学习、人工智能和计算机视觉方面的新进展来解决汽车雷达中的各种设计挑战。例如，最近的一些研究包括 MIMO 技术 [6]-[11]、天线阵列配置 [21]、[22]、雷达点云 [27]-[32]、雷达相关传感器融合 [38]-[41]、参数估计 [26]、角度估计 [23]–[25] 和基于微多普勒的机器学习 [5]、[33]–[37] 等。需要注意的是，联合雷达近年来，通信设计引起了研究界的极大关注[48]，[49]。
在各种设计和应用需求的推动下，对雷达和通信系统通过共享频谱共存的需求不断增加。有兴趣的读者可以参考[49]，全面回顾雷达通信共存和双功能雷达通信系统领域的最新技术和未来研究方向。除了汽车应用之外，毫米波雷达还被积极研究用于许多其他应用，例如占用估计和人类活动识别[37]、[42]-[46]。
不同类型的传感器已经应用于该应用领域，包括视觉、红外、声学、压力和可穿戴传感器 [43]、[47]。然而，预计雷达可以提供独特的传感能力来补充其他类型的传感器。对于实验研究，TI、NXP 和其他公司 [3]、[4] 提供了一些毫米波雷达设备。实施和参考各种雷达信号处理算法的材料可从雷达设备制造商以及 MATLAB Radar Toolbox [50] 和开源 OpenRadar Python 包 [51] 获得。
11.总结和结论本文系统回顾了最先进的 TDM MIMO FMCW毫米波雷达的基本工作原理和基于 DFT 的信号处理技术。使用一致的分析框架详细介绍了用于距离处理、多普勒处理和角度处理的 3D 傅里叶变换方法，包括对距离、速度和角度的分辨率和明确估计限制的详细推导和解释。
详细介绍了 TDM MIMO 雷达的实现和处理技术，包括 TDM MIMO 雷达特有的速度引起的相移补偿，给出了模拟和实验结果，以验证分析推导和分析。
通过各种仿真和实验结果证明了虚拟接收机数量和相位补偿技术的影响。我们还对相关工作进行了简要回顾，以帮助指导读者进一步探索最新的汽车雷达技术
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